Додавання гармонічних коливань

РЕФЕРАТ

на тему:”Додавання гармонічних коливань”

План

1. Додавання гармонічних коливань однакового напрямку і однакові частоти. Биття.

2. Додавання взаємно перпендикулярних коливань. Фігури Ліссажу.

3. Диференціальне рівняння вільних затухаючих коливань і його розв’язування.

1.
Додавання гармонічних коливань однакового напрямку і однакові частоти. Биття

Розглянемо додавання двох коливань однакового напрямку з однаковими періодами, які відбуваються з деякою різницею фаз і мають різні амплітуди. Нехай ці коливання відбуваються в напрямі осі x. Запишемо рівняння цих коливань

Додавання гармонічних коливань (1)

Циклічні частоти ω в обох випадках однакові. Зміщення x від положення рівноваги, при участі тіла одночасно в двох коливаннях, виражається алгебраїчною сумою

Додавання гармонічних коливань

Або

Додавання гармонічних коливань (2)

Для знаходження результуючої амплітуди А і початкової фази результуючого коливання φ використаємо векторну діаграму (рис.1).

Так-як вектори Додавання гармонічних коливань і Додавання гармонічних коливань обертаються з однаковою циклічною частотою ω, то різниця фаз Додавання гармонічних коливань між ними залишається постійною. Результуючу амплітуду А в цьому випадку визначають за теоремою косинусів, тобто

Додавання гармонічних коливань (3)

або з урахуванням того, що Додавання гармонічних коливань одержуємо:

Додавання гармонічних коливань

Рис.1

Додавання гармонічних коливань (4)

і

Додавання гармонічних коливань (5)

Початкова фаза результуючого коливання φ дорівнює

Додавання гармонічних коливань (6)

Значення амплітуди (5) і початкової фази (6) підставимо в рівняння (2), одержимо

Додавання гармонічних коливань (7)

Як видно з (7), сумарне коливання має такий же напрям і відбувається з тією ж циклічною частотою ω. Амплітуда результуючого коливання залежить від різниці фаз обох коливань.

Якщо Додавання гармонічних коливань де (Додавання гармонічних коливань), то Додавання гармонічних коливань;

Якщо Додавання гармонічних коливань де (Додавання гармонічних коливань), то Додавання гармонічних коливань.

Оскільки Додавання гармонічних коливань може набувати значень від –1 до +1, то межі зміни амплітуди будуть такими:

Додавання гармонічних коливань (8)

Окремим випадком можна розглядати додавання коливань з близькими циклічними частотами Додавання гармонічних коливань і Додавання гармонічних коливань (Додавання гармонічних коливань). Періодична зміна амплітуди з часом, яка відбувається в цьому випадку, називається биттям. Нехай додаються два гармонічних коливання з амплітудами Додавання гармонічних коливань і близькими циклічними частотами Додавання гармонічних коливань і Додавання гармонічних коливань. Початкові фази таких гармонічних коливань можна вибрати однаковими, тому

Додавання гармонічних коливань (9)

Додавання гармонічних коливань (10)

Різниця фаз двох коливань (9) і (10) буде дорівнювати Додавання гармонічних коливань.

Скористаємось теоремою косинусів для визначення амплітуди биття

Додавання гармонічних коливань (11)

Замінимо вираз в квадратних дужках у відповідності з формулою Додавання гармонічних коливань

Додавання гармонічних коливань (12)

Вираз (12) підставимо в (11)

Додавання гармонічних коливань. (13)

або

Додавання гармонічних коливань (14)

Фаза результуючого коливання для довільного проміжку часу знаходиться із графіка (рис.2)

Додавання гармонічних коливань (15)

Результуюче коливання биття матиме вигляд:

Додавання гармонічних коливань (16)

де Додавання гармонічних коливань – амплітуда биття.

Додавання гармонічних коливань

Рис.2

Графік залежності (16) має вигляд (рис 3):

Періодичність зміни амплітуди від максимуму до максимуму дає час, який називається періодом биття

Додавання гармонічних коливань, звідки Додавання гармонічних коливань (17)

Періодичність зміни амплітуди високочастотних коливань визначається за формулою

Додавання гармонічних коливань, звідки Додавання гармонічних коливань (18)

Оскільки циклічні частоти досить близькі, то наближено

Додавання гармонічних коливань (19)

За час Додавання гармонічних коливань відбувається n гармонічних високочастотних коливань, тому

Додавання гармонічних коливань (20)

З урахуванням співвідношень (17) і (19) вираз (20) перепишеться

Додавання гармонічних коливань (21)

звідки Додавання гармонічних коливань а для частот Додавання гармонічних коливань

В процесі биття частоти генераторів визначаються в таких межах:

Додавання гармонічних коливань (22)

Биття використовується для вимірювання частоти невідомого генератора в процесі їх виготовлення. Складання однаково направлених коливань забезпечує амплітудну модуляцію в радіотехніці, а також проміжну частоту супергетеродинного прийому радіо і телепередач.

2. Додавання взаємно перпендикулярних коливань. Фігури Ліссажу

Нехай матеріальна точка С одночасно бере участь у двох гармонічних коливаннях з однаковою циклічною частотою у взаємо перпендикулярних напрямках (рис. 4).

При збудженні коливань матеріальна точка С буде рухатись по деякій криволінійній траєкторії, форма якої залежить від різниці фаз обох коливань.

Рівняння коливань точки в напрямках осі x і осі y матимуть вигляд

Додавання гармонічних коливань (23)

де Додавання гармонічних коливань – спільна різниця фаз цих коливань.

Щоб отримати рівняння траєкторії у звичайному вигляді, треба виключити з цих рівнянь час t.

Додавання гармонічних коливань

Додавання гармонічних коливань

Додавання гармонічних коливань

Рис.4

Додавання гармонічних коливань

Додавання гармонічних коливань

В результаті отримаємо

Додавання гармонічних коливань (24)

Рівняння (24) є рівнянням траєкторії результуючого коливання точки С. Це рівняння є еліпсом, осі якого повернуті відносно осей x і y. Орієнтація еліпса і величина його півосей залежить від амплітуд Додавання гармонічних коливань і Додавання гармонічних коливань і різниці фаз Додавання гармонічних коливань.

Розглянемо окремі випадки.

1. Нехай Додавання гармонічних коливань, де Додавання гармонічних коливань Тоді

Додавання гармонічних коливань

Звідки

Додавання гармонічних коливань (25)

Результуюче коливання є гармонічним коливанням вздовж прямої з частотою ω і амплітудою Додавання гармонічних коливань (рис.5).

Додавання гармонічних коливань

Рис.5

Пряма утворює з віссю x кут Додавання гармонічних коливань

2. Нехай Додавання гармонічних коливань де Додавання гармонічних коливань

У цьому випадку

Додавання гармонічних коливань

Звідки

Додавання гармонічних коливань (26)

Результуючий рух – це гармонічне коливання вздовж прямої Додавання гармонічних коливань (рис.6).

3. Нехай Додавання гармонічних коливань де Додавання гармонічних коливань В результаті одержуємо рівняння

Додавання гармонічних коливань (27)

Це рівняння еліпса, осі якого збігаються з осями координат, а його півосі дорівнюють відповідним амплітудам (рис. 7). Якщо Додавання гармонічних коливань, то еліпс перетворюється в коло.

Додавання гармонічних коливань

Рис.6

Додавання гармонічних коливань

Рис.7

Два окремі випадки Додавання гармонічних коливань і Додавання гармонічних коливань відрізняються напрямком коливання по еліпсу або по колу.

У випадку, коли циклічні частоти взаємно перпендикулярних коливань, що додаються, різні, то замкнута траєкторія результуючого коливання досить складна.

Замкнуті траєкторії, які рисуються одночасно коливальною точкою у взаємно перпендикулярних напрямках, називаються фігурами Ліссажу. Форма цих кривих залежить від співвідношення амплітуд, частот і різниці фаз коливань, які додаються.

На рис. 8 показана одна із найпростіших траєкторій, одержаних при додаванні взаємно перпендикулярних коливань з відношенням циклічних частот 1:2 і різниці фаз Додавання гармонічних коливань. Рівняння коливань мають вигляд:

Додавання гармонічних коливань,

Додавання гармонічних коливань. (28)

Додавання гармонічних коливань

Рис. 8

Якщо відношення частот Додавання гармонічних коливань дорівнює 1:2, а різниця фаз Додавання гармонічних коливань то траєкторія коливань точки вироджується в незамкнуту криву (рис. 9), вздовж якої рухається точка то в одну до в протилежну сторони.

Додавання гармонічних коливань

Рис. 9

Чим ближче до одиниці буде відношення частот Додавання гармонічних коливань, тим складнішою буде фігура Ліссажу. Для прикладу на рис. 10, наведена крива фігури Ліссажу з відношенням частот 3:4 і різниці фаз Додавання гармонічних коливань.

Додавання гармонічних коливань

Рис. 10

3. Диференціальне рівняння вільних затухаючих коливань і його розв’язування

Розглянемо вільні затухаючі коливання, амплітуда яких внаслідок втрат енергії реальною коливальною системою зменшується з часом. Найпростішим механізмом зменшення енергії коливань є її перетворення в теплоту внаслідок тертя в механічних коливальних системах, а також омічних втрат і випромінювання електромагнітної енергії в електричних коливальних системах.

Закон затухання коливань визначається властивостями коливальних систем. Як правило розглядають лінійні системи – ідеалізовані реальні системи, у яких параметри, які визначають фізичні властивості системи, у ході процесу не змінюються. Лінійними системами є, наприклад, пружинний маятник при малих деформаціях пружини (в межах дії закону Гука), коливальний контур, індуктивність, ємність і опір якого не залежать ні від струму в контурі, ні від напруги. Різні за своєю природою лінійні системи описуються ідентичними лінійними диференціальними рівняннями, які дозволяє підходити до вивчення коливань різної фізичної природи з єдиної точки зору.

Диференціальне рівняння вільних затухаючих коливань лінійної системи задається у вигляді

Додавання гармонічних коливань (29)

де x – коливна величина, яка описує той або інший фізичний процес, Додавання гармонічних коливань – коефіцієнт затухання, ω0
– циклічна частота вільних незатухаючих коливань тієї ж коливальної системи, тобто при Додавання гармонічних коливань(при відсутності втрат енергії).

Щоб знайти розв’язок рівняння (29), слід фізичну величину х виразити через нову змінну z відповідно до рівняння

Додавання гармонічних коливань (30)

де z = z (t). Після підстановки першої і другої похідних від рівності (30) в рівняння (29) одержимо

Додавання гармонічних коливань (31)

Розв’язок рівняння (31) залежить від знака коефіцієнта Додавання гармонічних коливань перед шуканою величиною. Розглянемо випадок, коли цей коефіцієнт позитивний, тобто Додавання гармонічних коливань.

Тоді одержимо рівняння типу

Додавання гармонічних коливань (32)

де

Додавання гармонічних коливань. (33)

Розв’язком рівняння (32) є рівняння типу (9) першої теми:

Додавання гармонічних коливань (34)

Після підстановки (34) у (30) для випадку малих затухань Додавання гармонічних коливаньодержуємо розв’язок рівняння (29) у такому вигляді:

Додавання гармонічних коливань (35)

де Додавання гармонічних коливань — амплітуда затухаючих коливань, Ао
— початкова амплітуда.

Залежність (35) показана на рис. 11 суцільною лінією, а амплітуда коливань — пунктирними лініями.

Проміжок часу Додавання гармонічних коливань , протягом якого амплітуда затухаючих коли- вань зменшується у е разів, називається часом релаксації.

Затухання порушує періодичність коливань, тому затухаючі коливання не є періодичними, а тому до них поняття періоду або частоти незастосовне.

Однак якщо затухання мале, то можна умовно користуватися поняттям періоду як проміжку часу між двома наступними максимумами (або мінімумами) коливної фізичної величини (рис. 11).

Період затухаючих коливань з урахуванням формули (33) дорівнює

Додавання гармонічних коливань (36)

Додавання гармонічних коливань

Рис. 11

Якщо Α (t) і Α (t + T) – амплітуди двох послідовних коливань, які відповідають моментам часу, що відрізняються на один період, то їх відношення

Додавання гармонічних коливань,

називається декрементом затухання, а його логарифм

Додавання гармонічних коливань (37)

називається логарифмічним декрементом затухання; N — число коливань,

які виконує коливна система за час зменшення амплітуди в е разів.

Для характеристики втрат енергії коливальною системою з часом, користуються поняттям добротності Додавання гармонічних коливань, яка при малих значеннях логарифмічного декремента є помноженому на 2Додавання гармонічних коливань відношенню повної накопленої системою енергії до середніх втрат енергії цією системою за час в один період, тобто

Додавання гармонічних коливань (38)

де W — повна енергія системи; ΔW(T) — середні втрати енергії системою за час в один період (t=T).

Повна енергія коливної системи в момент часу tдорівнює

Додавання гармонічних коливань (39)

Енергія коливної системи через час в один період

Додавання гармонічних коливань (40)

Втрати енергії системою за час в один період дорівнюють

Додавання гармонічних коливань (41)

Добротність коливної системи одержимо, поділивши (39) на (41) і помноживши одержану величину на 2Додавання гармонічних коливань

Додавання гармонічних коливань (42)

У виразі (42) враховано, що відношення

Додавання гармонічних коливань

У випадку, коли Додавання гармонічних коливань , то в формулі (42) період коливань Tприймають рівним T0
.




Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

1 + 8 =