Математические вычисления

ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ КОНСОРЦИУМ

СРЕДНЕРУССКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

НОУ ВПО ТУЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ И БИЗНЕСА

Контрольная работа

по курсу «Математика»

Выполнил студент В.В.Тюрин

Тула 2010

1. Задача 1

Для заданных двух множеств найти произведения Математические вычисления и Математические вычисления, изобразить их графически и найти пересечение

Математические вычисления,Математические вычисления

Решение

1.Определяем мощность декартового произведения:

Математические вычисления

2.Записываем декартовы произведения в виде явного перечисления:

Математические вычисления

Математические вычисления

3.Определяем пересечение множеств:

Математические вычисления{Ø}

4.Изображаем элементы декартовых произведений АхВ и ВхА в виде точек декартовой плоскости (рис.1). Произведениями множеств являются

совокупности точек, обозначенные разными символами.

Математические вычисления

Рис. 1. Прямое AxB и обратного BxA произведения двух точечных множеств

Очевидно, что их пересечение пусто, что и соответствует аналитическому решению.

2. Задача 2

Вычислить предел функции с использованием основных теорем

Математические вычисления

Решение

Математические вычисленияМатематические вычисления

3. Задача 3

Раскрытие неопределенности вида Математические вычисления и Математические вычисления с использованием правила Лопиталя

Математические вычисления

Решение

Неопределенность Математические вычисления

Математические вычисления

4. Задача 4

Найти производную простой функции Математические вычисления

Решение

Математические вычисления

Итак, Математические вычисления

5. Задача 5

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на интервале

Математические вычисленияМатематические вычисления

Решение

1. Находим первую производную заданной функции

Математические вычисления

2. Определяем критические точки первого рода:

Математические вычисления

Математические вычисления

Математические вычисления или Математические вычисления,

Отсюда Математические вычисления, Математические вычисления

3. Подвергаем эти точки дополнительному исследованию в табличной форме (таблица 1), учитывая, что заданная функция определена на участке Математические вычисления числовой оси:

Таблица 1

Математические вычисления -1,2 (Математические вычисления) 0 (Математические вычисления) 1 (Математические вычисления) 2,5
Знак Математические вычисления Математические вычисления + Математические вычисления
Величина Математические вычисления 32,88 Математические вычисления

-6

Математические вычисления -1 Математические вычисления 244
Экстремум m M

Итак,

Математические вычисленияМатематические вычисления

В данном случае один из глобальных экстремумов совпадает с одним из локальных экстремумов.

6. Задача 6

Вычислить неопределенный интеграл методом подстановки Математические вычисления

Решение

Выполним подстановку:

Математические вычисления

Продифференцируем обе части уравнения:

Математические вычисленияМатематические вычисления

Математические вычисления

Математические вычисления=Математические вычисления

7. Задача 7

Вычислить неопределенный интеграл от рациональной дроби

Математические вычисления

Решение

1. Найдем производную знаменателя:

Математические вычисления

2. Выделим в числителе выражение Математические вычисления, для этого умножим знаменатель на 2 и умножим дробь на Математические вычисления, чтобы значение дроби не изменилось, и вынесем Математические вычисления за знак интеграла.

Математические вычисления

3. Запишем число Математические вычисления, как Математические вычисления, получим:

Математические вычисления

4. Разлагаем подынтегральное выражение на сумму элементарных дробей:

Математические вычисления

5. Вычислим интеграл Математические вычисления, для этого выражение Математические вычислениявнесем под знак дифференциала. Интеграл принимает табличный вид:

Математические вычисления

6. Вычислим интеграл Математические вычисления, для этого выделим в знаменателе полный квадрат.

Математические вычисления

Интеграл принимает табличный вид:

Математические вычисления

7. Записываем решение:

Математические вычисления

8. Задача 8

Вычислить определенный интеграл методом интегрирования по частям

Математические вычисления

Решение

Математические вычисленияМатематические вычисления

Математические вычисления

9. Задача 9

По заданным координатам вершинам А, В, С треугольника определить его длины сторон, углы и площадь

А(-5; -5; 3);В(-4; 1; 1);С(1; 4; 0)

Решение

1. Записываем стороны треугольника в форме линейных разложений векторов и строим векторную схему треугольника (рис.1):

Математические вычисления

Рис. 2 Схема треугольника

Математические вычисленияМатематические вычисления

Математические вычисления

Математические вычисления

2 Вычисляем длины сторон:

Математические вычисления

Математические вычисления

Математические вычисления

3. Определяем углы треугольника,

Математические вычисления

следовательно, Математические вычисления=23.3o

Математические вычисления

следовательно, Математические вычисления25,4о

Угол Математические вычисления по формуле Математические вычисления.

Математические вычисления

Следовательно, Математические вычисления, Математические вычисления

4. Проверяем достоверность вычисления углов треугольника

Математические вычисления

следовательно, все расчеты выполнены правильно.

5. Вычисляем площадь треугольника:

Математические вычисления

10. Задача 10

Найти для заданной матрицы Математические вычисления присоединенную Математические вычисления и обратную Математические вычисления матрицы

Математические вычисления

Решение

1.Вычисляем определитель матрицы

Математические вычисления

Итак, матрица неособенная и для нее существует обратная матрица Математические вычисления.

2. Вычисляем для всех элементов матрицы Математические вычисления алгебраические дополнения:

Математические вычисления

Математические вычисления

Математические вычисления

Математические вычисления

Математические вычисления

Математические вычисления

Математические вычисления

Математические вычисления

Математические вычисления

3. Записываем присоединенную матрицу:

Математические вычисления

4. Вычисляем обратную матрицу

Математические вычисления

5. Проверяем достоверность вычисления обратной матрицы, умножая ее на исходную матрицу

Математические вычисления=

Математические вычисления

Математические вычисления

Получили единичную матрицу, следовательно, задача решена верно.

11. Задача 11

Найти произведения Математические вычисления и Математические вычисления квадратных матриц Математические вычисления и Математические вычисления

Математические вычисленияМатематические вычисления

Решение

Обе перемножаемые матрицы третьего порядка, поэтому умножение их всегда возможно по обычному правилу:

1. Находим прямое произведение матриц (умножение слева направо)

Математические вычисления

Математические вычисленияМатематические вычисления

2. Находим обратное произведение матриц (умножение справа налево)

Математические вычисления

Математические вычисления

12. Задача 12

Найти произведение Математические вычисления прямоугольных матриц

Математические вычисленияМатематические вычисления

Решение

1. Сопоставляя размеры заданных матриц

Математические вычисления,

устанавливаем, что эти прямоугольные матрицы можно перемножать, при этом результирующая матрица будет иметь размеры 3х1:

2. Находим прямое произведение матриц (умножение слева направо)

Математические вычисления

13. Задача 13

Решить систему линейных уравнений методами Гаусса, Крамера и в матричной форме

Математические вычисления

Решение

1. Решаем систему методом Крамера, учитывая, что в общем случае, решение методом Крамера имеет вид:

Математические вычисленияМатематические вычисленияМатематические вычисления

то есть решение сводится к вычислению четырех определителей третьего порядка.

2. Вычисляем определитель системы:

Математические вычисления

так как определитель системы Математические вычисления, следовательно, система имеет решение и при этом одно.

3. Вычисляем остальные определители:

Математические вычисленияМатематические вычисления

Математические вычисления

4. Вычисляем значения неизвестных:

Математические вычисления

Итак, решение системы имеет вид: (1, 2, 1).

2. Решение в матричной форме.

В общем случае решение СЛАУ в матричной форме имеет вид:

Математические вычисления.

1. Записываем компоненты заданной СЛАУ в явном виде:

Математические вычисления, Математические вычисления, Математические вычисления

2. Вычисляем определитель матрицы Математические вычисления:

Математические вычисления

Итак, матрица Математические вычисления неособенная и для нее существует обратная матрица Математические вычисления.

3. Вычисляем алгебраические дополнения для всех элементов матрицы:

Математические вычисления

Математические вычисления

Математические вычисления

Математические вычисления

Математические вычисления

Математические вычисления

Математические вычисления

Математические вычисления

Математические вычисления

4. Записываем присоединенную матрицу в явном виде:

Математические вычисления

5. Вычисляем обратную матрицу Математические вычисления:

Математические вычисления

6. Проверяем достоверность вычисления обратной матрицы по условию:

Математические вычисленияМатематические вычисления

Математические вычисления

Математические вычисления

Следовательно, обратная матрица вычислена верно.

7. Решаем заданную систему уравнений:

Математические вычисления или Математические вычисления(1, 2, 1).

3. Метод Гаусса

1. Запишем СЛАУ в виде матрицы, расширенной за счет элементов правой части ее:

Математические вычисления

Первую строку оставляем без изменения. Умножаем элементы первой строки на (-3) и прибавляем к соответствующим элементам второй строки. Получим:

Математические вычисления

Затем умножаем элементы первой строки на (-2) и прибавляем к соответствующим элементам третьей строки.

Математические вычисления

Умножаем элементы третьей строки на (-2) и прибавляем к соответствующим элементам второй строки.

Математические вычисления

Первую и вторую строки оставляем без изменения. Умножаем элементы второй строки на 3 и прибавляем к соответствующим элементам третьей строки. Получим:

Математические вычисления

Вычисляем значения переменных СЛАУ снизу вверх:

Математические вычисления

Математические вычисления

Математические вычисления

Математические вычисления

Итак, решение системы уравнений имеет вид:

Математические вычисления, Математические вычисления, Математические вычисления

или в краткой форме: (1,2,1).

14. Задача 14

Определить число элементарных событий и простых соединений

Сколько есть двузначных чисел, у которых обе цифры четные?

Решение

Всего четных цифр 4 (2,4,6,8), значит существует 4 способа выбора первой цифры двузначного числа и 4 способа выбора второй цифры. Так как выбор цифр осуществляется одновременно, по правилу произведения вычислим количество двузначных чисел, у которых обе цифры четные: Математические вычисления

15. Задача 15

Вычислить вероятность события по классической схеме

Имеется 6 билетов в театр, 4 из которых на места первого ряда. Какова вероятность того, что из 3 наудачу выбранных билета 2 окажутся на места первого ряда?

Решение

1. Определяем общее количество способов, которыми можно взять 3 билета из 6.

Математические вычисления

2. Определяем количество способов взять три билета, в том числе два на места первого ряда и один на другой ряд:

Математические вычисления

3. Вероятность искомого события:

Математические вычисления

16. Задача 16

Вычислить вероятность события с использованием теорем сложения и умножения.

Охотник выстрелил три раза по удаляющейся мишени. Вероятность попадания в нее в начале стрельбы равна 0,8, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Найти вероятность того, что он попал в цель все три раза.

Решение

Пусть

P(A) – вероятность попадания 3 раза,

P(B) – вероятность попадания в 1-й раз,

P(C) – вероятность попадания во 2-й раз,

P(D) – вероятность попадания в 3-й раз.

Тогда

P(B)=0,8

P(C)= P(B)-0,1=0,8-0,1=0,7

P(D)= P(C)-0,1=0,7-0,1=0,6

P(A)=P(B) ∙P(C) ∙P(D)=0,8∙0,7∙0,6=0,336

17. Задача 17

Вычисление вероятности повторных независимых испытаний

Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, будет не более трех девочек. Вероятность рождения мальчиков и девочек считаем одинаковой.

Решение

Используем формулу Я. Бернулли:

Математические вычисления

1. Определяем исходные данные для формулы Бернулли:

Математические вычисленияМатематические вычисления

n=5, k=3, p=0,5, q=1-0,5=0,5

2. Вычисление вероятности искомого события:

Математические вычисления

18. Задача 18

Найти законы распределения случайных величин Математические вычисления и Математические вычисления, если законы распределения случайных величин Математические вычисления и Математические вычисления имеют вид

Математические вычисленияМатематические вычисления

Математические вычисления 0 2 4 6
Математические вычисления 0,1 0,2 0,3 0,4
Математические вычисления 3 5 7 9
Математические вычисления 0,3 0,2 0,2 0,3

Решение

Вычисления производим в табличной форме на основании определения разности и произведения случайных величин.

1. Вычисляем промежуточные величины для вычисления распределения переменной величины Z=Х-Y (разности двух случайных величин), используя табл.2.

Таблица 2.

Математические вычисления Математические вычисления 3 5 7 9
Математические вычисленияМатематические вычисления 0.3 0.2 0.2 0.3
0 0.1 -30.03 -5 0.02 -70.02 -9 0.03
2 0.2 -1 0.06 -3 0.04 -5 0.04 -7 0.06
4 0.3 1 0.09 -1 0.06 -3 0.06 -5 0.09
6 0.4 3 0.12 1 0.08 -1 0.08 -3 0.12

2. Записываем закон распределения случайной величины Z=X-Y в табл.3.

Таблица 3

Математические вычисления -9 -7 -5 -3 -1 1 3
Математические вычисления 0.03 0.08 0.15 0.25 0.2 0.17 0.12

2. Проверяем достоверность вычислений:

Математические вычисления0.03+0.08+0.15+0.25+0.2+0.17+0.12=1.0

4. Вычисляем промежуточные величины для вычисления распределения случайной величины Математические вычисления (произведения тех же случайных величин), используя табл.4.

Таблица 4

Математические вычисления Математические вычисления 3 5 7 9
Математические вычисленияМатематические вычисления 0.3 0.2 0.2 0.3
0 0.1 0 0.03 00.02 00.02 00.03
2 0.2 60.06 10 0.04 14 0.04 18 0.06
4 0.3 12 0.09 20 0.06 28 0.06 36 0.09
6 0.4 18 0.12 90 0.08 42 0.08 54 0.12

5. Записываем закон распределения случайной величины Математические вычисления в табл. 5.

Таблица 5

Математические вычисления 0 6 10 12 14 18 20 28 36 42 54 90
Математические вычисления 0.1 0.06 0.04 0.09 0.04 0.18 0.06 0.06 0.09 0.08 0.12 0.08

6. Проверяем достоверность вычислений:

Математические вычисления0=1.0+0.06+0.04+0.09+0.04+0.18+0.06+0.06+0.09+0.08+0.12+0.08=1.0

19. Задача 19

Вычислить основные характеристики вариационного ряда

Таблица 6

Математические вычисления 25 29 33 37 41 Итого
Математические вычисления 16 8 19 10 7 60

Решение

1. Вычисления производим в табличной форме (табл.7).

Таблица 7

№№ Математические вычисления Математические вычисления Математические вычисления Математические вычисления Математические вычисления
1 25 16 625 400 10000
2 29 8 841 232 6728
3 33 19 1089 627 20691
4 37 10 1369 370 13690
5 41 7 1681 287 11767
Итого 60 6505 1916 62876
Среднее 93,42 31,93 1047,93

2. По итоговым данным табл.7, получаем:

— среднюю производительность труда Математические вычисления

3. Вычисляем характеристики вариации:

— дисперсиюМатематические вычисления

— среднее квадратическое отклонение

Математические вычисления

— коэффициент вариации

Математические вычисления

4. Результаты вычислений иллюстрирует график рис.3.

Математические вычисления

Рис. 3. Результаты вычислений

20. Задача 20

Найти линейное уравнение регрессии с построением эмпирической и теоретической линий регрессии и оценить тесноту связи для следующих статистических данных

Таблица 8

Математические вычисления 103 108 102 111 95 109 118 123
Математические вычисления 106 103 108 102 111 91 109 118

Решение

1. Решение производим в форме табл. 9 на основании системы нормальными уравнениями метода наименьших квадратов для линейной двухпараметрической регрессии:

Математические вычисления.

Таблица 9

№№ Математические вычисления Математические вычисления Математические вычисления Математические вычисления Математические вычисления
1 103 106 10609 11236 10918
2 108 103 11664 10609 11124
3 102 108 10404 11664 11016
4 111 102 12321 10404 11322
5 95 111 9025 12321 10545
6 109 91 11881 8281 9919
7 118 109 13924 11881 12862
8 123 118 15129 13924 14514
Итого 869 848 94957 90320 92220
Среднее 108,63 106 11870 11290 11528

2. Подставляя итоговые числа сумм в уравнения метода наименьших квадратов, получаем алгебраическую систему двух уравнений с двумя неизвестными вида:

Математические вычисленияМатематические вычисления

Отсюда получаем: Математические вычисления,

а из первого уравнения Математические вычисления

3. Записываем корреляционное уравнение

Математические вычисленияМатематические вычисления

4. Вычисляем коэффициент корреляции уравнения, используя итоговые данные табл.9

Математические вычисления

Линейный коэффициент корреляционного показывает, что зависимость между параметрами Математические вычисления и Математические вычисления слабая.

5. Графически результаты вычислений показаны на рис.4 в виде точек исходной статистической совокупности, соединенных серой линией и графика регрессионной зависимости Математические вычисления (сплошная черная линия).

Математические вычисленияМатематические вычисления

Рис. 4. Результаты вычислений




Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

6 + 3 =